帶權正交性（orthogonality with a weight）
對函數而言，垂直並非絕對概念——它取決於你如何度量夾角，而那正是內積所做的事。帶權正交性就是用帶權內積來度量的正交：不用 f 乘 g 的裸積分，而用 f 乘 g 乘 w 的積分，其中 w(x) 是固定的正權。在這條規則下，兩個函數當其帶權重疊為零時即垂直，哪怕其無權重疊不為零。
帶權內積定義為配對 (f, g) = integral from a to b of f(x) g(x) w(x) dx，由它誘導的範數是 (f, f) 的平方根。你對普通向量熟知的每個概念都原樣搬來：正交即 (f, g) = 0，範數度量大小，把 f 投影到單位範數的 g 上得 (f, g) g，勾股定理成立。在自伴的斯圖姆-劉維爾形式下工作的全部意義，正在於它精確地告訴你該用哪個 w——權就是方程中 lambda y 的係數，也是唯一一個能使該問題的本徵函數正交的權。
為何非要帶個權？因為真實的幾何與真實的物理把它擺在那裡。極座標或球座標中，面積元拖進一個 r 或一個 sin(theta) 因子，它便成為權；對密度變化的弦，質量密度就是權。在每個積分中攜帶 w，正交結構才完好無損，於是係數公式與帕塞瓦爾恆等式都保持乾淨。丟掉權，本徵函數就不再正交，投影失效，展開悄無聲息地崩壞。
切比雪夫多項式 T_m、T_n 僅在權 w(x) = 1/sqrt(1 - x^2) 下於 [-1, 1] 上正交：當 m 不等於 n 時，integral from -1 to 1 of T_m(x) T_n(x) / sqrt(1 - x^2) dx = 0。若用裸權 1，它們並不正交。
每個多項式族只在自己的權下正交；換權就破壞正交性。
一個常見失誤是把係數算成不帶權的 integral of f y_n dx；對非平凡的權（貝塞爾、切比雪夫、埃爾米特），這給出錯誤數值與無法還原 f 的級數。