格拉姆-施密特正交化（Gram-Schmidt orthogonalization）
/ GRAM-shmit /
假設你有一組構件，它們張成你想要的空間，卻並不彼此垂直——它們相互倚靠。格拉姆-施密特是把它們扶正的系統方法：它取任一無關組，通過反覆減去與已經整理好的部分重疊的成分，產生一組張成完全相同空間的正交組。把向量正交化的同一過程，一旦固定了某個（可能帶權的）內積，也能把函數正交化。
機制是一種逐次相減。保留第一個元素。對此後每個元素，減去它在迄今所建每個正交元素上的投影；按構造，所剩之物與它們全體正交。在內積為 (f, g) = integral of f g w dx 的帶權函數空間中，要把 1, x, x^2, x^3, ... 這樣的序列正交化，就令每個新多項式等於下一個冪減去它在先前正交多項式上的各投影。代入 [-1, 1] 上的權 w = 1，便生成勒讓德多項式；代入全直線上的 w = e^{-x^2}，便得埃爾米特多項式；[0, infinity) 上的 w = e^{-x} 給出拉蓋爾。經典正交多項式，實實在在就是對單項式按恰當權作格拉姆-施密特。
這就是為什麼正交多項式基底並非憑空降下的魔法——它們是被構造出來的，而每當問題要求時，你都能在自定義區間、自定義權上構造自己的一套。但在數值計算中，教科書的經典格拉姆-施密特對捨入誤差出了名地敏感，故從業者改用修正格拉姆-施密特變體或 QR 分解；數學一樣，算術更穩。
在 [-1, 1] 上以權 1 正交化 1, x, x^2。從 q_0 = 1 起。則 q_1 = x 減去它在 q_0 上的投影（為 0），故 q_1 = x。再 q_2 = x^2 減（在 q_0 上的投影）減（在 q_1 上的投影）= x^2 - 1/3。它們分別正比於 P_0、P_1、P_2——最前幾個勒讓德多項式。
在 [-1, 1] 上以權 1 對單項式作格拉姆-施密特，直到歸一化為止重現勒讓德多項式。
格拉姆-施密特給出張成與原來相同的正交組，但並不唯一：改變輸入的次序、區間或權，就得到不同的正交族。