長期項（secular term）
長期項是微擾級數中隨時間無界增長的一塊——通常形如 t 乘以正弦——儘管它本應近似的真實解永遠保持有界。這個名字源自「saeculum」（一個漫長的世代），因為在天體力學中這類項只在極長的時間裡增長，卻終將佔據主導、使近似變得毫無意義。長期項是一面紅旗，警示樸素的展開被組織錯了方向。
它從何而來：在振子的微擾展開中，每一階的修正由從低階解構造出來的強迫項驅動。若那個強迫恰好以系統自身的固有頻率振盪，你就是在共振地驅動這個振子，其響應不是有界振盪，而是振幅隨時間線性增長的那種，即經典的 t cos(t) 或 t sin(t)。例如，樸素地展開杜芬方程會在一階產生一個正比於 epsilon t sin t 的項；對固定的小 epsilon，這在短時間內沒問題，可一旦 t 達到 1/epsilon 的量級，這個本應很小的修正就和主導項一樣大，近似隨之崩潰。
識別並消去長期項，是振盪微擾理論的核心技術。龐加萊-林德斯泰特方法通過調整頻率消去它們；多尺度分析通過讓振幅與相位在慢時間上漂移來消去它們；兩者都把「消去長期項」變成支配慢演化的那個方程本身。要內化的誠實要點是：長期項通常並非真正的物理不穩定——它是在錯誤頻率處展開、或忽略緩慢調制所產生的假象。良方是重組展開，而不是斷言系統會爆炸。
樸素地展開 y'' + y + epsilon y^3 = 0，在一階會得到一個正比於 cos t 的強迫項——恰好是共振頻率——其特解正比於 t sin t，這是一個無限增長的長期項。
以固有頻率發生的共振強迫，把一個有界振盪變成一個隨 t 增長的項——這正是長期項的標誌。
長期項標誌著展開有缺陷，而不一定意味著解在增長。良方是要求長期項消失，由此得出慢演化方程；只有極少數情況下，真正的長期增長才反映一種真實的物理不穩定。