龐加萊-林德斯泰特方法（Poincaré-Lindstedt method）
/ pwan-kah-RAY LIND-stet /
龐加萊-林德斯泰特方法糾正了樸素微擾理論在處理週期運動時的一個特定尷尬：小的非線性會使振子的頻率略有改變，但若你仍在原頻率處展開，修正項就會隨時間增長、最終毀掉近似，儘管真實運動是一個完全有界的振盪。良方是把頻率本身連同解一起展開，讓週期運動在它自己正確調準的時間裡被描述。
其機制是：對像杜芬方程 y'' + y + epsilon y^3 = 0 這樣的弱非線性振子，引入一個拉伸時間 tau = omega t，其頻率 omega = 1 + epsilon omega_1 + epsilon^2 omega_2 + ... 待定，並在這個被拉伸的時間裡展開解 y = y_0 + epsilon y_1 + ...。在每一階，共振強迫項（那些正比於 cos tau 或 sin tau、與固有頻率相匹配的項）會生成像 tau 乘以正弦那樣增長的長期項。於是你恰好選取頻率修正 omega_1, omega_2, ...，使這些共振項相消。這一要求既消去了無界增長，又交付了非線性振盪那真正依賴於振幅的頻率。
在歷史上，林德斯泰特與龐加萊正是這樣挽救了天體力學的微擾級數——那裡行星軌道的樸素展開含有隨時間增長的項，錯誤地預言了不穩定。它抓住了非線性振盪的標誌：週期依賴於振幅。誠實的提醒是：基本方法假設運動是嚴格週期、單一頻率的，所以它不能處理阻尼或振幅衰減（軌道必須自我閉合）。對帶阻尼或緩慢調制的系統，你需要更一般的多尺度分析，而龐加萊-林德斯泰特本質上正是它在週期、單頻情形下的特例。
對杜芬方程 y'' + y + epsilon y^3 = 0（振幅 a），該方法給出修正頻率 omega ~ 1 + (3/8) epsilon a^2：振盪週期確實取決於擺動有多大。
讓頻率本身攜帶一個 epsilon 展開，就消去了失控的長期項，並揭示出依賴於振幅的週期。
拉伸頻率不是表面上換個標籤。在錯誤的（未擾動）頻率處展開，正是長期項的真正根源；修正頻率是去除病因，而非掩蓋症狀。