偏微分方程
狄利克雷邊界條件
/ DEER-ish-lay /
在你說明區域邊緣發生了什麼之前，偏微分方程有無窮多解。最簡單的做法就是沿整個邊界規定未知函數本身的取值——不是說牆處溫度變化多陡，而是說那裡的溫度究竟是多少。這種規定就是狄利克雷邊界條件，是標準邊界條件中第一種、也是最直觀的一種。
形式上，在區域邊界上你要求 u = g，其中 g 是定義在該邊界上的給定函數（可以是常數，也可以沿邊緣逐點變化）。物理上，當邊界被保持在已知狀態時你就施加它：兩端被夾在冰與爐子上的棒（溫度固定為 0 和某個熱值）、邊緣被釘死的鼓面（位移固定為零）、被保持在已知電壓的電極。規定值為零的情形，即邊界上 u = 0，稱為齊次狄利克雷條件，正是它讓分離變量法產生乾淨的正弦級數。
狄利克雷條件無處不在，因為如此之多的物理邊界確實保持著一個固定值：被夾住的溫度、被釘住的位移、接地或帶電的導體。對拉普拉斯方程與卜瓦松方程，狄利克雷問題——在整個邊界上規定 u、求內部解——是最規矩的偏微分方程問題：它恰有一個解，該解對邊界數據連續依賴，並服從極值原理。它們與諾伊曼條件形成對照，後者固定的是通量（法向導數）而非取值。
一根長為 L、對所有 t 滿足 u(0, t) = 0 與 u(L, t) = 0 的棒，具有齊次狄利克雷條件（兩端溫度均保持為零）。它們迫使空間本徵函數為 sin(n pi x / L)，後者在兩端為零，給出純正弦級數。
在兩端固定取值就選出了正弦函數；這是入門偏微分方程問題中最常見的配置。
狄利克雷固定的是取值而非斜率；把它與諾伊曼條件（固定法向導數，即通量）混淆會改變出現的本徵函數——正弦還是餘弦——並可能給出完全不同的答案。
又稱
另見