廣義積分（improper integral）

廣義積分要求對一塊沒有邊緣的區域求總量：要麼區間一路延伸到無窮，要麼函數在內部某處衝向無窮。乍一看，對一塊無界區域求和似乎毫無希望——然而有時那塊面積雖然伸展不盡，加起來卻是一個有限的數，就像一個無限收窄的形狀仍能裝下有限的油漆。

嚴格地說，你不能把無窮直接塞進黎曼和，所以把廣義積分定義為普通定積分的極限。對無窮區間：integral from 1 to infinity f(x) dx = lim (b -> infinity) integral from 1 to b f(x) dx。對在端點 c 處爆掉的函數：積分到 c - epsilon，再令 epsilon -> 0。如果這個極限是一個有限的數，積分就收斂到它；如果極限是無窮或不存在，積分就發散。

它是否收斂，取決於函數衰減得有多快，而那條分界線出人意料地鋒利。經典的一對：integral from 1 to infinity 1/x^2 dx 收斂（它等於 1），但 integral from 1 to infinity 1/x dx 發散（它無限增大），儘管兩個被積函數都朝 0 縮小。這教訓是：一塊無界區域的總量可能有限，也可能無限，你單憑直覺分不出是哪一種——你必須取極限，親眼看看。