分支切割（branch cut）

像平方根或對數這樣的多值函數無法畫成一張乾淨的曲面——它有相互交疊的層，繞分支點走一圈便會把你在層間倒換。分支切割就是你掛起的那道簾子，以防此事發生：它是平面上一條你宣布路徑不得進入的曲線，於是在剩下的區域裡函數不再多值，安頓為單一、連續的一支。

實踐上，你選一條連接分支點的曲線（對對數，是從原點到無窮的一條射線；對 sqrt((z-1)(z+1))，是從 -1 到 +1 的線段），並禁止任何路徑穿越它。在這開縫平面內，函數如今單值且解析，但要付代價：當你跨過切割時它會不連續地跳變。函數從切割兩側趨於不同的極限值，而那跳變的大小是信息，而非誤差——當切割穿過你的圍道時，你積分的正是它。切割的位置是自由選擇；只有分支點是固定的。

在用圍道方法計算實積分時，分支切割不可或缺。要積分諸如 x^{a} / (1 + x^2) 從 0 到無窮之類，你沿正實軸放一條切割，並繞它走一條鎖孔圍道；函數越過切割的跳變重現出原實積分的一個倍數，再由極點處的留數收尾。同一思想——把切割當作攜帶物理意義的受控不連續——出現在色散關係中，那裡越過切割的跳變編碼著吸收或粒子產生。