複對數（complex logarithm）
實對數撤銷實指數，每個正輸入對應一個乾淨的答案。複對數則試圖撤銷複指數——可那指數是週期的，把平面一圈又一圈地纏繞，於是其逆不可能只有一個值。因此複對數本質上是多值的：每個非零數都有無窮多個對數，彼此相差 2 pi i 的整數倍，宛如盤旋樓梯疊在一個底層答案之上的層層樓面。
把 z 寫成極座標形式 z = r e^{i theta}，對數即 log z = ln r + i theta，其中 ln r 是模長的普通實對數，theta 是 z 的輻角。麻煩在於 theta 只能確定到相差 2 pi 的任意整數倍，因為轉過整整一圈又落回同一點。要得到單值函數，就得選定一個主值，通常把幅角限制在區間 (-pi, pi] 內，記作 Log z；這就迫使出現一條分支切割，慣例沿負實軸，函數越過它便跳變 2 pi i。原點處 r = 0，是一個分支點，必須排除。
複對數是複冪的源頭（因為 z^a 定義為 e^{a log z}），也是分數冪與無理數冪多值的緣由。每當被積函數含有 1/z 因子時它便現身：繞一個包住原點的迴路積分會添上 2 pi i，那正是留數機制的化身。在應用中它支配信號的相位展開、電路的阻抗，以及線電荷或渦旋的勢——凡是繞一個奇點時某量會累積輻角之處，皆有它的身影。
取 z = -1，其模長為 1、幅角為 pi。則 log(-1) = ln 1 + i(pi + 2 pi k) = i pi (1 + 2k)，對每個整數 k 皆然：..., -i pi, i pi, 3 i pi, ...。主值為 Log(-1) = i pi。可見一個負實數確有複對數——並無矛盾，只是多值而已。
每個非零數都有無窮多個對數，相隔 2 pi i；主值挑出其中一層。
諸如 log(z w) = log z + log w 這樣熟悉的恆等式只在相差 2 pi i 整數倍的意義下成立，對主值 Log 甚至可能徹底失效。在複平面上盲目套用實變量的對數法則，是常見且代價高昂的錯誤。