積分號下求導（differentiation under the integral sign）

設想一個積分，其被積式裡多坐著一個參數，比如 I(a) = e^(-ax) 乘某式從 0 到無窮的積分。積分號下求導，就是允許你把 d/da 移到積分號裡，使得 I(a) 對 a 的導數等於被積式對 a 的導數的積分。你在固定積分變量的情況下對裡面求導，然後照常積分。聽起來簡單得幾乎過分——但用得巧妙，它能攻下抵抗一切標準技巧的積分。

最樸素的形式下，當上下限為常數時，規則正是那個交換：[常區間] 上 f(x, a) dx 的積分對 a 的導數，等於 f 對 a 的偏導數的積分。策略是故意往一個難積分裡引入一個參數，求導得到一個更容易的積分，解出它，再對參數積分回去（由某個已知的特殊值找回積分常數）。當積分上下限本身依賴參數時，你需要更完整的萊布尼茨法則，它會添加邊界項。

這不是廉價把戲，而是一條嚴格的定理——只要被積式及其參數導數足夠好（連續，且有一個控制界以便把極限穿過積分），它就成立。它是物理學中許多結果背後的引擎：生成分布的矩、計算高斯型積分、求那些正面看毫無希望的值。它的非正式暱稱「費曼技巧」，是為紀念理查德·費曼如何令人難忘地推廣了它，儘管這方法要古老得多。