高級積分技巧
萊布尼茨積分法則（Leibniz integral rule）
/ LYBE-nitz /
萊布尼茨積分法則回答一個精確的問題：若一個積分的參數既出現在被積式裡又出現在積分上下限裡，當參數移動時整體如何變化？它是對 I(t) = f(x, t) dx 從 a(t) 到 b(t) 的積分求導的完整公式，把兩種效應縫在一起——被積式的移動，與端點的滑動。
法則有三塊。I(t) 的導數等於：第一，f 在上限處的值乘上限移動的速率 db/dt（右緣前進，曲線獲得面積）；減去 f 在下限處的值乘 da/dt（左緣前進，失去面積）；加上 f 對 t 的偏導數在區間上的積分（被積式自身處處在變）。兩個邊界項恰是動限的鏈式法則貢獻；積分項就是樸素的積分號下求導。當上下限為常數時，邊界項消失，只剩那個內部項。
這是動邊界問題、流體力學中的輸運定理（雷諾輸運定理就是隨流動攜帶的區域的多維萊布尼茨法則）以及任何在增長窗口上累積量變化率背後的主力。一個常見的疏忽是只記得積分項，而在上下限確實依賴 t 時忘掉兩個邊界貢獻——這一遺漏悄悄丟掉了真實的物理，比如穿過運動曲面的通量。
對 cos(t x) dx 從 0 到 t^2 的積分求 d/dt，等於 cos(t * t^2) * (2t) + 從 0 到 t^2 的 -x sin(t x) dx 的積分——邊界項加上內部的參數導數。
移動的上限 t^2 貢獻一個邊界項；cos 內部的參數 t 貢獻積分項。
當只有上下限依賴參數而被積式不依賴時，法則退化為帶鏈式法則的微積分第二基本定理。恰恰在兩者同時變化時才需要完整法則。
又稱
另見