高級積分技巧
弗魯拉尼積分（Frullani integral）
/ froo-LAH-nee /
弗魯拉尼積分是個小奇蹟：[0, 無窮] 上一整類定積分，無論你餵進什麼良態函數，都塌縮為同一個簡單的對數答案。它處理形如 [f(ax) - f(bx)] / x dx 的積分，其中同一個函數 f 在變量的兩個不同伸縮 a 和 b 處取樣。驚人之處在於答案幾乎完全不依賴 f——只依賴它在端點處的行為。
當 f 在 [0, 無窮) 上連續，且在 0 處有有限極限、在無窮處有有限極限時，[f(ax) - f(bx)] / x dx 從 0 到無窮的積分等於 [f(0) - f(無窮)] 乘 ln(b/a)。你能感覺到原因：把差寫成 f' 沿 x 從 ax 到 bx 的積分並交換積分次序，1/x 的權重就把兩個伸縮之間的間隔變成對數 ln(b/a)，而 f 在兩端的值提供前因子。f 的內部形狀被沖刷掉了；只有兩個邊界值和尺度之比要緊。
弗魯拉尼積分是積分表和競賽題的寵兒，並在某個物理量由同一響應在兩個頻率或兩個長度尺度上的差構成時出現。它們也乾淨地示範了高級積分中反覆出現的主題——一個全局的結構特徵（這裡是「差伸縮」的形狀）幾乎無需詳細計算就能定下一個積分。不過假設很要緊：若 f 在無窮處沒有有限極限，基本公式必須修正，甚至可能徹底失效。
(e^(-ax) - e^(-bx)) / x dx 從 0 到無窮的積分，取 f(x) = e^(-x)，f(0) = 1，f(無窮) = 0，等於 (1 - 0) * ln(b/a) = ln(b/a)。
只有 f 的邊界值和比值 b/a 留下來——函數的中段無關緊要。
乾淨的公式需要兩個端點極限都存在且有限。若 f(無窮) 不存在，你不能直接代零——標準結論不再適用，積分甚至可能發散。
又稱
另見