柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann equations）
/ KOH-shee REE-mahn /
把一個複函數拆成實部與虛部，f(z) = u(x, y) + i v(x, y)，然後問：u 與 v 要長成什麼樣，f 才有複導數？柯西-黎曼方程便是答案——一對聯繫 u 與 v 的偏微分方程，恰當 f 解析時成立。它們是複可導的代數核心，是讓平面在求導這件事上表現得像一條直線的那套記帳法。
寫出來即 du/dx = dv/dy 與 du/dy = -dv/dx。用話說：實部沿 x 方向上升的速率等於虛部沿 y 方向上升的速率，而兩個交叉速率互為相反數。幾何上這意味著映射 x 到 u 與 y 到 v 鎖在一起，把無窮小正方形送成正方形——一個微小圖形被旋轉、被縮放，卻不被剪切。這正是解析映射的局部圖景；當方程成立（且偏導連續）時，那唯一的複導數為 f'(z) = du/dx + i dv/dx。
這組方程是解析性的實用判據，也是通往物理的橋樑。因為把兩式交叉求導可得 nabla^2 u = 0 與 nabla^2 v = 0，任何解析函數的實部與虛部都自動是調和的——它們滿足拉普拉斯方程。於是每個解析函數都免費奉上兩個滿足穩態傳熱、靜電勢與理想流體流動支配方程的解。工程師不斷利用這一點：挑一個方便的解析函數，便可讀出一個勢及其共軛流。
檢驗 f(z) = e^z。此處 u = e^x cos y，v = e^x sin y。則 du/dx = e^x cos y 而 dv/dy = e^x cos y——相等。又 du/dy = -e^x sin y，而 -dv/dx = -e^x sin y——也相等。兩條柯西-黎曼方程處處成立，確認 e^z 解析，且 f'(z) = du/dx + i dv/dx = e^x cos y + i e^x sin y = e^z。
兩條方程是解析性的快速檢查表，同時還把 f'(z) 一併奉上。
在某點滿足柯西-黎曼方程對該點可導是必要的，卻不完全充分；還需偏導數連續（或 f 作為實映射確實可微）。有病態例子在單點滿足 C-R 卻並不解析。