調和共軛（harmonic conjugate）

假設有人遞給你一個調和函數 u——比如某無電荷區域中的靜電勢。在它身旁潛藏著一個夥伴，即調和共軛 v，它以互補的視角打包了同一份物理。u 描出等勢線之處，v 描出與之垂直相交的場線；u 是溫度時，v 便是熱流的流函數。調和共軛就是與第一個函數結合、共同構成一個解析整體的那第二個調和函數。

具體地說，給定調和的 u(x, y)，其調和共軛 v 是使 u + i v 解析的那個調和函數，也就是說這對函數滿足柯西-黎曼方程：dv/dx = -du/dy 與 dv/dy = du/dx。構造 v 的辦法是積分這兩式：由 -du/dy 讀出 dv/dx，對 x 積分，再用另一式定出餘下那個僅含 y 的函數。在單連通區域上這總能奏效，並把 v 確定到相差一個常數。u 與 v 的等值線構成一張正交網格——這正是流動的曲線座標網。

這種配對是二維場論的引擎。在流體力學中 u 是速度勢、v 是流函數，二者的組合 w = u + i v 即複勢，把整個理想流動收進一個解析函數——流線就是等值線 v = 常數，流速就是 dw/dz 的模。在靜電學中 u 給出等勢線、v 給出力線。一個誠實的提醒：在帶洞的區域上，共軛可能不再單值（想想繞一點一周的角度），而這恰恰是環量與淨電荷進入圖景的方式。