共形映射（conformal mapping）
想像在一張橡皮膜上印滿細小的正方形網格，再把膜拉伸、彎折成新的形狀。共形映射是這樣一種形變：無論它如何扭曲整體圖景，都在微小尺度上保持角度不變：每個小正方形被旋轉、被改變大小，卻絕不被剪切——它仍是正方形。這種保角性質，正是導數非零的解析函數所為，也是把一個形狀棘手的物理問題化為形狀容易者的橋樑。
精確地說，在 f 解析且 f'(z) 不為零的點處，映射 w = f(z) 是共形的。在那裡 f 局部地像乘以複數 f'(z)：它把每個方向旋轉 f'(z) 的輻角、把每段長度按 f'(z) 的模縮放，對所有方向都一樣，這正是曲線間夾角得以保持的緣由。在 f' = 0 處映射不再共形，角度可能被加倍乃至更糟。其核心應用倚仗一個你已知的事實：調和函數在共形變量替換下仍調和，於是複雜區域上拉普拉斯方程的解，可由簡單區域上的解拉回得到。
這是二維勢論的經典引擎。要在一個形狀彆扭的域中求靜電勢、理想流體流動或穩態溫度，你把這彆扭區域共形地映到一個簡單區域——半平面或圓盤——那裡的答案已知，在那裡求解，再映回去。莫比烏斯變換把圓盤與半平面互相映射；茹科夫斯基映射把一個圓變成翼型，是經典機翼理論的根基。黎曼映射定理許諾基本上任何單連通區域都能映到圓盤，儘管求出那顯式映射可能很難。
映射 w = z^2 把上半平面送到整個平面，並在原點處把角度加倍，因為它的導數 2z 在那裡為零——故它除 z = 0 外處處共形。遠離原點處，一個由垂直線構成的小十字在映射後仍保持垂直；在原點處，邊界的直角張開成一條直線，正是 f' = 0 所警示的角度加倍。
在 f' 不為零處共形；在那些 f' 為零的點，角度不再被保持。
共形意味著保角，而非保形或保距：一個小正方形仍是正方形，但一個大區域可被拉伸、彎折到面目全非。而共形性恰在 f'(z) = 0 的點失效，所以在信賴那保角圖景之前，務必先核對導數。