一階常微分方程與定性理論
正交軌線（orthogonal trajectories）
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給定充滿平面的一族曲線，它的正交軌線是另一族曲線，處處與第一族成直角相交——一族中的每條曲線都與另一族中的每條曲線以九十度相遇。日常的圖景是等高線地圖：雨滴所循的最陡下降線，恰好與等高的等值線處處垂直。這兩族互為正交軌線。
求它們是一階微分方程的一個利落應用。先把原族寫成 F(x, y) = C，求導得到它的微分方程 dy/dx = m(x, y)——即過每點的原曲線斜率，常數 C 已被消去。正交族必須處處具有斜率的負倒數（互相垂直的直線斜率之積為 -1），故它滿足 dy/dx = -1/m(x, y)。解這個新的微分方程，就得到正交軌線。整套方法就是：求出原族的常微分方程，把斜率翻成它的負倒數，再解一次。
正交族在物理中無處不在，原因很深刻：在許多場中，力線與等勢面互相垂直。電場線與等勢面成直角相交；理想流體的流線與等勢線正交相交；等溫線（等溫度曲線）與熱流線互為正交軌線。所以計算一個正交族，往往就是在計算勢所驅動的流——一種乾淨的一階常微分方程技巧，直通場的物理。
圓族 x^2 + y^2 = C 的斜率為 dy/dx = -x/y。正交軌線滿足負倒數方程 dy/dx = y/x，它可分離，解得 y = k*x——即過原點的直線。同心圓與放射狀直線互相正交，一眼可證。
把每個斜率翻成負倒數，再解新的常微分方程。
負倒數法則針對普通（直角）正交，在 m = 0 或無窮處會失效——水平的原曲線需要豎直的軌線，而「-1/m」無法直接表達。這些相切與豎直的情形要單獨處理。（在極坐標下，垂直條件取另一種代數形式。）
又稱
另見