可分離變量方程（separable equation）
可分離變量方程是最友善的一階方程，也是你應當最先嘗試的那一類。它幸運的結構是：兩個變量可以被剝開——所有含 y 的趕到一邊，所有含 x 的趕到另一邊——於是微分方程坍縮成兩個你早已會算的普通積分。一旦行得通，求解幾乎是機械的。
若 dy/dx 可寫成乘積 g(y)*h(x)，一個因子只含 y、一個只含 x，則方程可分離。於是你分離變量：化為 (1/g(y)) dy = h(x) dx，再兩邊各自獨立積分——積分 (1/g(y)) dy = 積分 h(x) dx + C。兩次積分得到的單個常數 C 承載整族。對 dy/dx = x*y，除以 y 得 (1/y) dy = x dx；積分得 ln|y| = x^2/2 + C，故 y = A*e^(x^2/2)。整套方法不過是鏈式法則反過來用，再加點包裝。
可分離方程在初等建模中無處不在，因為許多基本定律都說「變化率正比於某個簡單的量」：放射性衰變、牛頓冷卻定律、無約束的種群增長，乃至（經過第一步代數後）邏輯斯蒂方程，都可分離。誠實的局限是：可分離是一種結構上的巧合——多數方程並不可分離，你也無法強迫它們分離。針對這一點的兩個後續招數，是線性方程的積分因子，以及齊次型與伯努利型的代換。
牛頓冷卻定律 dT/dt = -k*(T - T_env) 分離為 dT/(T - T_env) = -k dt。兩邊積分得 ln|T - T_env| = -k*t + C，故 T = T_env + A*e^(-k*t)：溫度指數式地弛豫到室溫。
把變量分離，每邊各積分一次，解族即現。
為分離而除以 g(y) 時，你可能悄悄丟掉了 g(y) = 0 處的常數解（這裡是 T = T_env）。它們是真實的解，應當單獨檢驗——除以一個可能為零的因子，正是可分離方法漏掉解的經典之處。