一階線性方程（linear first-order equation）

這是一階理論的主力方程——每一次都有保證的、公式化的解。不同於可分離情形（那是結構上的幸運巧合）或非線性情形（通常沒有閉式），一階線性方程總能用一條固定配方求出閉式解。只要你能把方程化成它的樣子，基本上就大功告成。

它的標準形是 dy/dx + P(x)*y = Q(x)：未知量 y 單獨出現、一次冪，只被一個 x 的函數相乘，右邊 Q(x)（驅動項或源項）只依賴 x。解由積分因子 mu(x) = e^(對 P(x) 積分) 給出。乘整個方程把左邊變成 d/dx(mu*y)，於是一次積分得 y = (1/mu)*(積分 mu*Q dx + C)。當 Q = 0 時方程齊次，答案就是 y = C/mu = C*e^(-積分 P)，一個指數；非零的 Q 加上由源驅動的特解響應。這種拆分——齊次部分加特解部分——正是後續整套線性理論的種子。

這類方程刻畫了極其廣泛的一階線性系統：RC 或 RL 電路、有進出流的混合槽、帶穩定補給的放射性衰變、環境溫度變化下的牛頓冷卻。可靠性正是要點——給定標準形，積分因子公式從不失手，這正是為什麼人們花大力氣（如伯努利與里卡蒂代換）把彆扭的非線性方程變換成這個可信賴的線性樣子。