一階常微分方程與定性理論
伯努利方程（Bernoulli equation）
/ ber-NOO-lee /
伯努利方程是「暗中線性」的非線性方程裡最著名的例子。它看上去剛好夠不著積分因子法——有一項帶著 y 的冪次在作祟——但一個巧妙的換元就剝掉了那份非線性，把整件事又丟回可信賴的線性工具箱。
它的形式是 dy/dx + P(x)*y = Q(x)*y^n，其中 n 是除 0 和 1 以外的任意常數（這兩個值會讓它本就線性）。救場的代換是 v = y^(1-n)：求導後那個作祟的 y^n 項消去，方程化為關於 v 的一階線性方程 dv/dx + (1-n)*P(x)*v = (1-n)*Q(x)，用它的積分因子求解，再把代換還原即得 y。一旦看出這個模式，配方就是機械的：認出 n，令 v = y^(1-n)，線性化，求解，回代。它是「以代換實現線性化」這一更廣策略最乾淨的例證。
該方程以雅各布·伯努利命名，他在 17 世紀 90 年代提出它，它出現在增長項次線性或超線性的真實模型中——某些種群與資源模型、流體摩擦定律，以及（取 n = 2 時）邏輯斯蒂方程都可寫成伯努利形式。值得帶走的要點是：非線性方程並非自動無望。像伯努利這樣的特殊結構容許精確代換，能還原出完整的閉式解。
對 dy/dx + y = y^2（故 n = 2），令 v = y^(1-2) = 1/y。方程化為線性的 dv/dx - v = -1，解為 v = 1 + C*e^x；回代得 y = 1/(1 + C*e^x)——一條明顯呈邏輯斯蒂形狀的曲線。
代換 v = y^(1-n) 把伯努利方程化為關於 v 的線性方程。
這裡的伯努利是雅各布·伯努利的微分方程——不是流體力學中的伯努利原理，那是丹尼爾·伯努利的另一項結果。同一個姓，毫不相干的命題，切勿混淆。
又稱
另見