邏輯斯蒂方程（logistic equation）
純指數增長——dy/dt = r*y——是個幻想：它說種群、銀行存款或謠言會永遠翻倍、毫無上限。現實有極限。邏輯斯蒂方程是最簡單而誠實的修正，它讓增長在資源充裕時以指數起步，卻在種群逼近環境所能支撐的上限時溫和地剎車。它是非線性模型的典範開篇，也是定性理論的展品。
它的形式是 dy/dt = r*y*(1 - y/K)，其中 r 是內稟增長率，K 是承載力。讀這兩個因子：當 y 小時，括號接近 1，增長幾乎指數式，dy/dt 約等於 r*y；當 y 攀向 K 時，括號縮向 0，增長停滯；若 y 曾超過 K，括號變負，y 又回落。該方程可分離（也是一個 n = 2 的伯努利方程），其解是著名的 S 形曲線 y(t) = K/(1 + A*e^(-r*t))——起步緩慢、中段陡峭、在 K 處趨平。在相線上它有兩個平衡點：y = 0（不穩定）與 y = K（穩定），於是每個正的初始種群都被導向承載力。
邏輯斯蒂方程是科學中最常被複用的模型之一：種群生物學、流行病與創新的傳播、自催化化學反應、腫瘤生長，以及資源的加載曲線，都披著它的 S 形。它是把整個領域串起來的完美例題——可分離、可用伯努利法求解、帶一條富有教益的相線和一個乾淨的穩定性判定。誠實的告誡是它是有意為之的簡化：它假定固定的承載力、單一物種、無時滯、無年齡結構、無噪聲，而真實種群常常偏離。
一個 r = 0.5/年、K = 1000 的魚群服從 dy/dt = 0.5*y*(1 - y/1000)。從 100 起步，它緩慢上升，在陡峭的中段加速，最後在 1000 附近趨平——即那條 S 曲線，1000 是它不會長久超越的穩定承載力。
起初指數，隨後剎車至承載力 K——經典的 S 形曲線。
邏輯斯蒂曲線並非唯一的 S 形增長律，平滑趨近 K 是一種建模假設，而非自然法則。加入時滯，或令 r 足夠大，會使其離散版本陷入混沌——即著名的邏輯斯蒂映射——提醒我們這個乾淨的連續模型是一種簡化。