平衡點的穩定性（stability of an equilibrium）

兩個平衡點都可以是完美的平衡狀態，可一旦你輕推它們，行為卻可能截然不同。碗底的一顆彈珠，輕推後會滾回——這是穩定的。圓頂之巔平衡著的一顆彈珠，輕推後會滾開、永不歸來——這是不穩定的。穩定性所問的是：從平衡點附近出發的解會怎樣——是回到它，還是逃離它？

對帶平衡點 y*（其中 f(y*) = 0）的自治方程 dy/dx = f(y)，穩定性可直接從相線讀出。若兩側箭頭都指向 y*，附近的解收斂回它——它是穩定的（吸引子）。若箭頭背離，附近的解逃逸——它是不穩定的（排斥子）。還有一個快速的解析判據，即線性化判據：看導數 f'(y*)。若 f'(y*) 為負則平衡點穩定；為正則不穩定。（直覺：在 y* 附近，方程近似為 dy/dx 約等於 f'(y*)*(y - y*)，即位移的指數增長或衰減——負的速率衰減回去，正的速率放大開來。）當 f'(y*) = 0 時判據失靈，必須直接察看 f 的符號；這樣的點可能是半穩定的，一側吸引、另一側排斥。

穩定性是整個應用數學中最具實踐重要性的觀念之一，因為真實系統都坐落在它們的穩定平衡點上——處於承載力的種群、處於平衡濃度的化學反應、由恆溫器控制在設定溫度的房間。不穩定平衡點存在，卻從不被長久觀察到，因為最微小的擾動就把系統驅離。這個一維觀念是更宏大的方程組穩定性理論的種子，那裡本徵值取代了單個導數 f'(y*)。