自治方程（autonomous equation）

自治方程是這樣一種方程：它的規則不依賴時間本身，只依賴當前的狀態。想像一個球在固定的丘陵地貌上滾動：它下一步去哪，只取決於它現在在哪，而與此刻幾點無關。地貌並不在它腳下改變。這種自我支配的性質（autonomos，「依自己的法則而活」）正是這個名字所捕捉的。

形式上，一階自治方程的形式是 dy/dx = f(y)——右邊只依賴 y，自變量 x 不顯式出現。與之相對的是 dy/dx = f(x, y)，那裡 x 單獨露面。直接的好處是一種對稱：由於規則在每個 x 值處都相同，方向場沿每一條水平線看起來完全一樣；線段只依賴高度 y。所以若 y(x) 是解，則它的任意水平平移 y(x - c) 也是解。一個推論是自治方程原則上總可分離（dy/f(y) = dx），但它們真正的價值在定性層面。

正是這種不依賴 x 的性質，使相線圖成為可能：你可以把整個流坍縮到單根 y 軸上，標出 f(y) = 0 之處（平衡點），再從它們之間 f 的符號讀出解是上升還是下降。幾乎每個寫作「變化率取決於當前量」的模型——種群增長、化學動力學、物體趨向固定環境溫度的冷卻——都是自治的，這正是為什麼定性工具箱（平衡點、相線、穩定性）首先就是為它們而建的。