里卡蒂方程（Riccati equation）

里卡蒂方程是比伯努利更上一級的難度——是一般情況下根本沒有初等解的最簡單的非線性一階方程。它帶著未知量的二次項，單單這一個平方就足以擊敗標準方法。它標出了一條誠實的前沿：一類整齊方程停止給出閉式解的地方。

它的一般形式是 dy/dx = q_0(x) + q_1(x)*y + q_2(x)*y^2——常數項、線性項，外加那個洩露身份的 y^2。兩個事實使它特殊。其一，僅憑係數沒有求其通解的公式；一般而言里卡蒂方程不能用初等函數求解。其二，它被一個出色的變換所拯救：代換 y = -u'/(q_2*u) 把它化為關於 u 的二階線性常微分方程。於是一個非線性一階方程恰好等價於一個高一階的線性方程——這正是里卡蒂方程與二階線性理論及特殊函數深刻相連的原因。另一條生路是：若你能設法猜出一個特解 y_1，則代換 y = y_1 + 1/v 把餘下部分降為可解完的伯努利（實為線性）方程。

里卡蒂方程絕非冷僻：它在最優控制中居於核心（矩陣里卡蒂方程是線性二次調節器的心臟），在物理的散射與薛定諤方程中，以及在連分數理論中，都舉足輕重。它教給我們的教訓坦誠而重要——「能用公式解」與「需要更深結構或數值方法」之間的分界，恰恰穿過一階方程，而里卡蒂正坐在那條線上。