一階齊次方程（homogeneous first-order equation）

這裡的「齊次」含義相當特定、也容易誤讀：指右邊只依賴比值 y/x、而不分別依賴 x 和 y 的方程。這樣的方程是尺度不變的——把 x 和 y 同時放大同一倍數，方程看起來一模一樣。正是這種對稱性，被一個巧妙的代換所利用，把它化為你能積分的可分離方程。

形式上，dy/dx = f(x, y) 在此意義下是齊次的，若 f(x, y) 可寫成僅含 y/x 的函數——等價地，若對每個縮放因子 t 都有 f(t*x, t*y) = f(x, y)。代換 v = y/x（於是 y = v*x，由乘積法則 dy/dx = v + x*dv/dx）把方程化為 x*dv/dx = f(v) - v，它關於 v 與 x 可分離：分離、積分，再把 v 換回 y/x。它之所以奏效，幾何核心在於尺度對稱——沿從原點出發的任一射線，斜率場是恆定的，所以天然坐標就是比值 v = y/x。

這類方程出現在任何沒有內稟長度尺度的問題裡，這在幾何中（由角度或比值條件定義的曲線）和物理問題的相似解中很常見，那裡量綱分析把兩個變量併成一個比值。一個關於術語的嚴肅警告：這裡的「齊次」與線性常微分方程理論裡的「齊次」完全是兩回事，後者指驅動項為零（Q = 0）。同一個詞，兩個不相干的含義——由上下文判定指的是哪個。