橢圓型方程

想像一張肥皂膜繃在一個彎曲的金屬絲環上，或者一塊邊緣被固定溫度的金屬板裡的穩態溫度，或者一個四周放著電荷的區域裡的靜電勢。每種情形裡都沒有任何東西隨時間變化——系統已經穩定到平衡——而任一內部點的取值是它周圍環境的某種加權平均。支配這類穩態的偏微分方程就是橢圓型方程，是二階線性偏微分方程三大家族中的平衡型。

橢圓型方程是判別式 B^2 - A C 為負的方程，原型是拉普拉斯方程 u_xx + u_yy = 0 及其非齊次表親泊松方程。其決定性特徵是沒有實的特徵曲線：沒有任何方向供信息傳播，所以某點的擾動會瞬間且平滑地被整個區域感受到。解自動地與數據允許的一樣光滑（事實上，即使邊界數據粗糙，內部也無窮可微），並服從極值原理——內部點永遠不會比邊界上最熱的點更熱或更高。其自然問題是邊值問題：你在一個封閉區域的整個邊界上給定數據，再求內部的解。

凡是有靜態場的地方都有橢圓型方程：靜電學與引力（勢滿足拉普拉斯或泊松方程）、穩態熱傳導、不可壓縮無黏流動（速度勢）、繃緊薄膜的撓曲，以及任何擴散過程的穩態。它們的解由邊界數據唯一確定，並對邊界數據連續依賴，這使橢圓型邊值問題成為所有偏微分方程問題中行為最好、被研究得最透徹的一類。