二階線性偏微分方程的分類
二階線性偏微分方程有無窮多個，但它們只歸入三個家族，而一個給定方程屬於哪個家族，幾乎告訴了你它的解將如何行事——信息是以有限速度還是瞬間傳播，擾動是保持尖銳還是被抹平，正確的數據該放在區域的邊界上還是某個初始時刻。這三種類型稱為橢圓型、拋物型與雙曲型，名字借自圓錐曲線，理由是精確的。
把兩個變數的一般二階線性方程寫成 A u_xx + 2B u_xy + C u_yy +（低階項）= 0，其中下標表示偏導數，A、B、C 是最高階導數的係數。類型由判別式 B^2 - A C 決定，這恰是給圓錐曲線 A x^2 + 2B x y + C y^2 = 常數 分類的那個量。若 B^2 - A C 小於 0，方程是橢圓型（想想拉普拉斯方程，A = C = 1，B = 0，判別式 -1）；若等於 0，是拋物型（熱方程，缺了一個二階導數）；若大於 0，是雙曲型（波動方程，A = 1，C = -c^2，判別式 c^2 > 0）。若係數隨位置變化，分類也可能逐點改變——這正是為什麼例如跨聲速流動如此微妙。
這不是記賬——類型支配著物理。雙曲型方程有實的特徵曲線，信號沿之以有限速度傳播，尖銳的波前與間斷也沿之傳播；它們描述波。拋物型方程描述擴散：它們瞬間磨平數據，在理想化形式下信號速度無窮大，並內建了一個時間之箭。橢圓型方程描述平衡與穩態，根本沒有時間方向，其解盡可能光滑。每種類型也各自要求與之相稱的邊界數據或初始數據，問題才適定；把數據與類型配錯，會產生無解或劇烈不穩定的問題。
拉普拉斯方程 u_xx + u_yy = 0 的 B^2 - A C = 0 - (1)(1) = -1 < 0，橢圓型。熱方程 u_t - u_xx = 0 在 (t, x) 下判別式等於 0，拋物型。波動方程 u_tt - c^2 u_xx = 0 的判別式 0 - (1)(-c^2) = c^2 > 0，雙曲型。
三個模型方程恰好各屬一種類型——這正是它們被放在一起講授的原因。
類型僅由最高階（主部）係數決定；低階項與源項不改變它，不過對變係數而言，類型可能逐點不同。