雙曲型方程

撥動一根弦，一個扭折沿它飛奔；拍手，一道壓力鋒面以聲速向外傳播；丟一顆石子，一圈漣漪在池面擴展。在所有這些裡，擾動保持形狀並以確定、有限的速度移動，並把身後的介質留得跟它來時一樣。描述傳播與波的偏微分方程就是雙曲型方程，是三種二階類型中的第三種。

雙曲型方程的判別式 B^2 - A C 嚴格為正，以波動方程 u_tt = c^2 u_xx 為原型。決定性特徵是兩族不同的實特徵曲線——對波動方程就是直線 x - c t = 常數 與 x + c t = 常數——信息正是沿之以速度 c 傳播。由於信號以有限速度移動，雙曲型方程有依賴域（某點的值只依賴於初始數據的有限區域，即一個後向光錐）與影響域（某點的初始數據只影響一個有限的前向錐）。尖銳特徵與間斷被保留並沿特徵曲線攜帶，而非被磨平，恰與擴散相反。雙曲型問題通常需要時間上的兩個初始條件（位置與速度），因為它對時間是二階的。

雙曲型方程支配一切無耗散地傳播的東西：聲波與電磁波，弦、膜與彈性固體的振動，淺水與氣體動力學（其中非線性雙曲型方程形成激波），以及麥克斯韋理論中光的傳播。有限信號速度與特徵結構並非偶然——它們正是因果性、回聲與波前存在的原因，也是為什麼這些方程的數值格式必須遵守一個速度上限（CFL 條件）才能保持穩定。