波動方程

撥動的弦歌唱，敲擊的鼓轟鳴，聲音穿過房間，光從燈裡流瀉，漣漪在池面擴展。所有這些都是同一套數學：一個擾動穿過介質傳播，攜帶能量卻不攜帶物質，而每一個背後的方程都是波動方程。它是雙曲型的模型方程，也是聲學、光學與電磁學的基石。

在一維空間裡它是 u_tt = c^2 u_xx，其中 u(x, t) 是位移，u_tt 是時間上的加速度，u_xx 是空間中的曲率，c 是波速（由介質決定——對弦是張力除以密度，對聲音是勁度）。物理又能裝進一句話：每點的加速度正比於該處弦被彎曲的程度，於是凸包被拉回直線並越過頭，產生傳播的振盪。由於對時間是二階的，波動方程需要兩個初始條件：初始形狀 u(x, 0) 與初始速度 u_t(x, 0)。在更高維裡，u_xx 變成拉普拉斯算子，給出 u_tt = c^2 nabla^2 u，它支配空氣中的聲音與真空中的光（電磁場的每個分量都以 c 為光速滿足它）。

波動方程與熱方程的區別在於它守恆而非耗散：能量在動能與勢能形式之間晃盪卻不損失，尖銳的波前保持尖銳，信號以固定的有限速度 c 傳播、絕不更快。這個有限速度是因果性、回聲以及相對論光錐的數學根源。達朗貝爾解把它的行波結構顯式呈現，而分離變量法揭示出駐波模態，那正是樂器的諧音。