達朗貝爾解
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無限長弦上的波究竟在做什麼？在任何級數或變換之前，一維波動方程有一個驚人乾淨的答案，由讓·勒朗·達朗貝爾在 1747 年發現：最一般的解不過是兩個固定的形狀，一個以波速 c 向右滑、一個向左滑，二者相加。沒有任何東西原地振盪；一切都在平移。
波動方程 u_tt = c^2 u_xx 的通解是 u(x, t) = F(x - c t) + G(x + c t)，其中 F 與 G 是任意（二次可微）函數。組合 x - c t 沿一個向右移動的觀察者保持常數，所以 F(x - c t) 是一個以速度 c 向右剛性行進的形狀；同理 G(x + c t) 向左行進。給定初始形狀 u(x, 0) = phi(x) 與初始速度 u_t(x, 0) = psi(x)，這兩個未知函數被顯式釘住，給出達朗貝爾公式：u(x, t) = (1/2)[phi(x - c t) + phi(x + c t)] + (1/(2c)) 乘以 psi(s) 從 x - c t 到 x + c t 的積分。用話說：(x, t) 處的位移，是初始形狀在左右各距 c t 的兩點處取值的平均，加上初始速度在二者之間區間上積分的貢獻。
這個公式是把雙曲結構和盤托出的最乾淨的例證。它直接展示有限傳播速度：(x, t) 處的解只依賴於區間 [x - c t, x + c t] 內的初始數據，即它的依賴域，而與區間外的一切無關。它解釋了為什麼撥動的弦會分裂成兩個反向奔跑的脈衝，也是檢驗波動數值求解器的精確閉式基準。在有限長弦上，同一思想通過波在邊界處反射來實現，那正是與駐波傅立葉級數對偶的行波圖景。
一根從靜止釋放（psi = 0）、帶初始凸包 phi 的無限弦，其解為 u(x, t) = (1/2)[phi(x - c t) + phi(x + c t)]：凸包分裂成兩個半高的副本，一個向左跑、一個向右跑，各自剛性而不變。
從靜止釋放，初始形狀就一分為二並向兩側奔跑——這是達朗貝爾公式的標誌圖景。
達朗貝爾公式乾淨地適用於一維波動方程；在偶數空間維（如二維表面上的波）裡，類比的解沒有尖銳的後沿，所以平面裡的一聲閃響不會給出乾淨的回聲——簡單的行波圖景是奇數維所特有的。