拋物型方程

往靜水裡滴一滴墨水，或者把金屬棒的一端加熱、看著熱量沿棒爬行。尖銳的墨團變得模糊，溫暖的鋒面變軟，給足時間後一切都趨向一個平滑的狀態而抹平。描述這種隨時間不可逆地擴散與磨平——擴散——的方程就是拋物型方程，介於波動般的雙曲型與平衡的橢圓型兩大家族之間。

拋物型方程的判別式 B^2 - A C 恰好等於零，以熱方程 u_t = k u_xx 為原型：注意它對時間是一階、對空間是二階，這正是該類型的結構標誌。這種方程有一條重合的實特徵，其解有三個標誌性行為。它們瞬間磨平——哪怕初始輪廓凹凸不平，對任何 t > 0 也變得無窮可微，所以信息不會作為尖銳特徵被保留。它們帶有時間之箭：你能把方程沿 t 向前推進，但反向運行是不適定的，會無界放大噪聲。理想化擴散的信號速度無窮大——任何地方的變化都會立刻被各處感受到，儘管遠處呈指數式微弱。一個拋物型問題需要時間上的一個初始條件，加上所有後續時刻空間上的邊界條件。

拋物型方程支配任何擴散或耗散過程：熱傳導、化學濃度的擴散（菲克定律）、地下水的緩慢滲流、黏性動量擴散，以及著名的期權定價布萊克-斯科爾斯方程，它其實是偽裝的熱方程。磨平性質正是這些問題向前推進時寬容而穩定的原因，也是為什麼模糊的圖像與褪色的記憶是理解擴散對細節作用的好直覺。