偏微分方程
卜瓦松方程
/ PWAH-sohn /
拉普拉斯方程描述空區域裡的平衡——沒有電荷、沒有熱源、沒有質量。但真正令人感興趣的通常是源所做的事：電荷所在之處，電勢彎曲；熱量被泵入之處，穩態溫度凹陷或隆起；質量集中之處，引力勢加深。卜瓦松方程就是把源放回去的拉普拉斯方程，是靜態場論的母方程。
它寫作 nabla^2 u = f，即未知場的拉普拉斯算子等於一個給定的源密度 f（依賴於位置）。f 為零之處它退化為拉普拉斯方程、場是調和的；f 非零之處場被迫彎曲以容納源。在靜電學裡這恰是 nabla^2 phi = -rho/epsilon_0，說勢的曲率由當地電荷密度決定；在穩態熱傳導裡源是內部產熱率；在牛頓引力裡 nabla^2 Phi = 4 pi G rho 把勢與質量密度聯繫起來。解是對源的一個特解響應，加上任一由邊界條件確定的調和函數。
卜瓦松方程是從已知源分布通向它所產生的場的橋樑，求解它是靜電學、引力以及帶源穩態擴散的核心計算。標準工具是格林函數——單個點源的場——它讓你能通過疊加（把點源場對源密度積分）搭出對任意 f 的響應。那個疊加積分正是為什麼卜瓦松問題儘管活在連續空間裡，卻歸結為把每一小塊源的貢獻加起來。
一個均勻帶電的球產生的勢 phi 在球內滿足 nabla^2 phi = -rho/epsilon_0，在球外滿足 nabla^2 phi = 0（拉普拉斯）。在球面上把兩個解匹配起來，就重現了那個熟悉的結果：球外的場看起來恰如球心處一個點電荷的場。
球內用卜瓦松方程（電荷所在），球外用拉普拉斯方程（空區域）——在邊界處縫合。
單獨的卜瓦松方程並不能確定場；你仍然需要邊界條件，因為你總能加上任一調和函數（拉普拉斯方程的解）而不改變源項。
又稱
另見