解的收斂半徑

用冪級數求解微分方程時，級數並不保證對所有 x 都有效——它只在以 x0 為中心的圓盤內有效。解的收斂半徑（radius of convergence of a solution）就是這個圓盤的大小：你的級數在離 x0 多遠的範圍內值得信賴。美妙之處在於，對線性常微分方程，你能在算出哪怕一個係數之前就預測這個半徑。

這條定理（可追溯到富克斯與柯西）異常簡潔：對 y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0 在常點 x0 處展開，冪級數解保證至少收斂到方程最近的奇點為止，距離在複平面上度量。所以半徑至少等於 x0 到 P 或 Q 最近奇點的距離。你不必估計係數 a_k 再做比值判別法；只需定位奇點（往往是原首項係數為零之處）並測量距離。在特殊情形下收斂可能更好，但這個下界總是成立。

這之所以重要，是因為它預先告訴你級數近似在哪裡可用、在哪裡會失效。對勒讓德方程在 x0 = 0 處展開，奇點在 +1 與 -1，所以級數對 |x| < 1 收斂——恰好是球面上 cos(theta) 的物理區間。「在複平面上度量」這一點很微妙：你在實軸上看不見的奇點（如 1/(1 + x^2) 在 +i 與 -i 處的極點）仍會限制一個實級數，這就是為什麼一個看上去完全光滑的實函數也可能有有限的收斂半徑。