生成函數

整整一族無窮多個多項式——P_0、P_1、P_2 等等——攜帶起來頗為累贅。生成函數（generating function）把整族打包進一個關於兩個變量的整潔函數：把它按一個輔助變量 t 展開成冪級數，t^n 的係數就是該族的第 n 個成員。它是一個主函數，你可以從中按需搖出每一個多項式。

具體地，若函數 G(x, t) 按 t 的泰勒展開為 G(x, t) = sum（n>=0）p_n(x) t^n（有時分母帶一個 n!），則它是多項式族 p_n(x) 的生成函數。對勒讓德多項式，生成函數是 1/sqrt(1 - 2 x t + t^2) = sum P_n(x) t^n；對埃爾米特多項式，是 e^{2 x t - t^2} = sum H_n(x) t^n/n!。要取回比如 P_2(x)，只需把閉形式展開到 t^2 階並讀出係數。妙處在於：多項式的遞推關係、正交性以及特殊值的證明，都可由對這一個緊湊表達式求導或變形而得，而不必周旋於無窮多個分立的恆等式。

這些生成函數並非奇技——它們編碼著真實的物理。勒讓德生成函數 1/sqrt(1 - 2 x t + t^2) 實際上就是牛頓/庫侖勢 1/|r - r'| 按距離之比的展開，這正是多極展開能從中直接落下的原因。埃爾米特與拉蓋爾的生成函數同樣壓縮了量子振子與氫原子的結構。簡言之，生成函數是一次性記住整個正交族的最經濟的單一對象。