勒讓德級數展開（Legendre series expansion）
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當問題生活在球面上——行星表面的溫度、略扁地球的引力場、天線的輻射方向圖——天然的構件不是正弦，而是勒讓德多項式。勒讓德級數展開把區間 [-1, 1] 上的函數（通常是極角的餘弦）寫成這些多項式之和，正如普通傅立葉級數把週期函數寫成正弦餘弦之和。
勒讓德多項式 P_0, P_1, P_2, ... 是 [-1, 1] 上權 w = 1 的勒讓德斯圖姆-劉維爾問題的本徵函數，且正交：當 m 不等於 n 時 integral from -1 to 1 of P_m P_n dx 為零，當 m = n 時等於 2/(2n+1)。於是 [-1, 1] 上任何平方可積的 f 可展為 f(x) = sum over n of c_n P_n(x)，c_n = ((2n+1)/2) 乘以 integral from -1 to 1 of f(x) P_n(x) dx——每項一次投影，與正弦完全相同，只是換了勒讓德的歸一化。因為權為 1，積分中不出現額外因子，這使勒讓德級數成為最像傅立葉的那種特殊函數展開。
它的故鄉是球座標中的分離變量。求解帶電或引力體外的拉普拉斯方程時，你代入 x = cos(theta)，角向部分恰成為勒讓德問題；勢的多極展開（單極、偶極、四極……）就是偽裝的勒讓德級數。收斂行為如經典傅立葉情形：光滑的 f 收斂快且一致，但 f 中的跳躍會在勒讓德部分和中產生吉布斯過衝，正如正弦那樣。
在 [-1, 1] 上展開 f(x) = |x|。由對稱性只出現偶階勒讓德多項式：|x| = (1/2) P_0 + (5/8) P_2 - (3/16) P_4 + ...。係數遞減，部分和逼近 V 形，在 x = 0 處（|x| 不可導）有輕微折角。
偶函數只展為偶階勒讓德多項式——奇偶性把工作量減半，正如傅立葉餘弦級數那樣。
勒讓德級數是為 [-1, 1] 上權 1 量身定制的；勿與同區間的切比雪夫級數混淆，後者用權 1/sqrt(1 - x^2)，其精度反而聚集在端點附近。