漢克爾變換
/ HAHN-kel /
當一個問題沿直線鋪開時，傅立葉變換是恰當的工具，因為它的基本構件是波 e^{i k x}。但物理中許多問題是圓的——一面振動的圓鼓面、熱量從圓盤裡一點向外擴散、光穿過圓形透鏡。對這些問題，自然的構件不是直的正弦波，而是貝塞爾函數，即尊重圓對稱的徑向駐波花樣。漢克爾變換就是傅立葉變換的圓形親戚，它用貝塞爾函數而非指數函數搭成。
精確地說，nu 階的漢克爾變換把一個徑向變量的函數 f(r) 送到 F(k) = 從 0 到無窮的 f(r) J_nu(k r) r dr，其中 J_nu 是 nu 階第一類貝塞爾函數，而多出來的因子 r 是面積元的徑向部分。它的逆變換形式相同，這使該變換幾乎是自反的。它自然地出現：如果你對一個只依賴於到原點距離的函數（圓對稱函數）做普通的二維傅立葉變換，角向積分就塌縮掉，留下的恰好是零階漢克爾變換。所以漢克爾變換就是已經把旋轉對稱提取出去之後的二維傅立葉變換。
它的任務是為柱坐標和極坐標問題做傅立葉變換為笛卡兒問題所做的事：把拉普拉斯算子的徑向部分變成乘法，把一個偏微分方程化為代數方程。它是帶圓對稱的圓盤和無窮半空間上邊值問題的標準途徑，是光學中圓孔衍射的標準途徑（圓孔的衍射花樣正是孔徑的漢克爾變換），也用於軸對稱的熱與波問題。貝塞爾函數的階 nu 由問題的角向部分決定，所以不同的角向模式使用不同階的漢克爾變換。
一個均勻照亮、半徑為 a 的圓孔的衍射花樣，就是它的零階漢克爾變換，給出艾里斑：一個明亮的中央圓盤，外圍環繞著暗淡的圓環，強度正比於 (J_1(k a)/(k a))^2——這正是望遠鏡中一顆恆星的像是一個小圓盤而非一個點的原因。
圓孔的衍射花樣就是它的漢克爾變換——決定望遠鏡分辨率的艾里斑。
漢克爾變換是多維傅立葉變換的徑向指紋，而非另立門戶的思想：它只適用於圓對稱或軸對稱問題的徑向部分，而正確的階 nu 必須與角向模式相匹配，否則答案就錯了。