朗斯基行列式（Wronskian）

假設你有兩個候選解，想要一個單一的數來告訴你它們是真正不同、還是只是縮放後偷偷相同。朗斯基行列式正是這個數——由函數及其導數構成的一個行列式——它作為線性微分方程解的無關性檢測器而起作用。

對函數 y_1, ..., y_n，朗斯基行列式 W(x) 是這樣一個矩陣的行列式：第一行是函數本身，第二行是它們的一階導數，依此向下直到 (n-1) 階導數。對兩個函數，它就是 W = y_1 y_2' - y_2 y_1'。若 y_1、y_2 是同一個二階線性常微分方程 y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 的解，則阿貝爾恆等式給出 W(x) = W(x_0) exp(-從 x_0 到 x 對 p 的積分)。指數項永不為零，故 W 在區間上要麼恆為零、要麼永不為零——一個乾淨的全有或全無檢驗。

除了檢測無關性，朗斯基行列式是參數變易法的引擎：特解公式中要除以 W。它出現在穩定性分析中、在唯一性定理的證明中，以及特殊函數方程的理論中（在那裡阿貝爾恆等式把譬如貝塞爾方程的兩個無關解聯繫起來）。它以波蘭思想家約瑟夫·赫內-朗斯基命名，是每位應用數學家隨身攜帶的少數幾個行列式之一。