離散頻譜與諧波

一個樂音不是單一頻率，而是一摞頻率——一個基音，加上以其兩倍、三倍、四倍速率出現的泛音——而泛音的具體配方，正是讓小提琴和長笛奏同一個音卻聽起來不同的原因。傅立葉級數把這變得具體：一個週期信號只在一架離散的頻率階梯上才有能量，即某個基頻的整數倍，而那些頻率上的強度清單就是它的頻譜。

因為傅立葉級數中的諧波由整數 n 標號，允許的頻率是 f_0, 2 f_0, 3 f_0, ...，其中 f_0 是基頻——中間的頻率一概不存在。把係數的幅值（|c_n|，或 sqrt(a_n^2 + b_n^2)）對頻率作圖，得到的不是一條光滑曲線，而是一組孤立的豎直尖峰，這就是它被稱作線狀頻譜或離散頻譜的原因。第 n 個尖峰是第 n 次諧波：n = 1 是基波，n = 2 是二次諧波（高八度），依此類推。正是週期性強行造成了這種離散性——週期意味著重複，而只有那些把整數個週期恰好塞進週期裡的頻率才能存活。

這幅離散圖像是聲學、振動和電力電子的工作語言。音色就是諧波內容；總諧波失真度量放大器或電網中不需要的高次諧波；一根管風琴管的特徵就是它的泛音頻譜。要記住的對比是：一個週期信號有離散（線狀）頻譜，但一個一次性、不重複的脈衝把它的能量鋪展在一整條連續的頻帶上——那就是傅立葉變換的連續頻譜，是你讓週期增大到無窮、譜線並入一片模糊時所到達的極限。