帕塞瓦爾定理
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如果一個信號是它各諧波之和，那麼它的總能量去了哪裡？直覺說：它一定分攤到各諧波之間，記賬過程中既不憑空生出也不損失能量。帕塞瓦爾定理把這一直覺變得精確。它說一個函數在一個週期上的平方平均，等於它所有傅立葉係數的平方之和——時域圖像裡的總「能量」等於頻域圖像裡的總「能量」。
在三角形式中，對週期為 2L 的 f，(1/L) 對一個週期積分 [f(x)]^2 dx = (a_0)^2/2 + 從 n=1 到無窮對 (a_n^2 + b_n^2) 求和。在複形式中更為簡潔：(1/(2L)) 對一個週期積分 |f(x)|^2 dx = 對所有 n 的 |c_n|^2 求和。無論哪種，傳達的信息都一樣——把信號平方再平均，得到的數與把它的譜幅值平方再相加得到的數相同。這就是能量詮釋：每個諧波貢獻它自己那一份總量，而各份直接相加，因為諧波是正交的（積分中沒有交叉項倖存）。
帕塞瓦爾定理是功率譜和信號能量預算背後的主力恆等式。它讓你直接從係數算出均方值（有效功率、信號方差、L^2 範數），而無需重建信號，並告訴你能量如何在各頻率間分佈——這是每一個均衡器顯示和帶寬計算的基礎。作為額外收穫，把它用在一個已知級數上，會吐出引人注目的數論求和；例如鋸齒波的係數餵進帕塞瓦爾恆等式，給出 sum 1/n^2 = pi^2/6，即巴塞爾和。
對 f(x) = x 在 (-pi, pi) 上、b_n = 2(-1)^{n+1}/n：帕塞瓦爾給出 (1/pi) 從 -pi 到 pi 積分 x^2 dx = sum b_n^2，即 2pi^2/3 = sum 4/n^2，整理後得到 sum 1/n^2 = pi^2/6。
譜中的能量守恆，順手把一個著名的無窮級數和作為副產品交給了你。
帕塞瓦爾定理要求函數在週期上平方可積；它度量的是總能量，對相位和逐點行為視而不見，所以僅在孤立點（或符號模式）上不同的兩個函數，可以共享相同的能量總和。