三角函數系的正交性

兩支箭垂直，當它們的點積為零——它們指向相互獨立的方向，誰也不在對方身上投下影子。函數也可以在同樣的精神下「垂直」，只要你把點積換成它們乘積的積分。組成傅立葉級數的正弦和餘弦，恰恰是在這個意義上相互正交的，而這一條結構性事實就是讓整個學科得以計算的、不聲不響的引擎。

具體地說，在對稱區間 -L 到 L 上，cos(m pi x / L) cos(n pi x / L) dx 的積分，只要 m 與 n 不同就為零，兩個不同正弦的乘積也是如此；與此同時，任何正弦乘任何餘弦由奇偶對稱性直接積分為零。當 m = n 時積分不是零，而是一個已知的常數（匹配的正弦或餘弦對為 L，常數 1 為 2L）。所以族 { 1, cos(pi x/L), sin(pi x/L), cos(2 pi x/L), ... } 表現得像一組相互垂直的坐標軸，每根都有固定的長度。這就是為什麼把 f 投影到一個基函數上——乘上它再積分——恰好分離出一個係數：級數中其餘每一項都積分成了零。

正交性是歐拉-傅立葉係數公式成立的原因，也是帕塞瓦爾能量恆等式沒有交叉項的原因。它還揭示傅立葉級數只是一個更宏大想法的一個實例：用任意正交族展開函數。把三角系換成勒讓德多項式、貝塞爾函數，或斯圖姆-劉維爾問題的本徵函數，同樣的投影邏輯就給出一個廣義傅立葉級數。把三角正交性認作一個特例，正是從本章通向整個本徵函數展開理論的橋梁。