歐拉-傅立葉公式
/ OY-ler FOOR-ee-ay /
一旦你相信一個週期信號是正弦和餘弦之和，緊接著顯然要問：每一種各佔多少？如果說一份配方是一摞配料，那麼歐拉-傅立葉公式就是量杯——它們用一個積分告訴你每個諧波的精確分量。讓它們奏效的訣竅是一種篩選：當你對一整個週期積分時，每個正弦和餘弦對其他所有項都是「隱形」的，所以乘上某一個特定的諧波再積分，就把那一個係數單獨挑了出來。
對於週期為 2L 的函數 f，公式是 a_n = (1/L) 對一個週期積分 f(x) cos(n pi x / L) dx，n = 0, 1, 2, ...，以及 b_n = (1/L) 對一個週期積分 f(x) sin(n pi x / L) dx，n = 1, 2, ...。你在任意長度為 2L 的區間上積分，常取從 -L 到 L。只有單個 n 留下來，原因是正交性：cos(m pi x / L) cos(n pi x / L) 對一個週期的積分，除非 m = n 否則為 0，正弦也一樣，而正弦乘餘弦的積分總是 0。所以當你把整條級數乘以 cos(n pi x / L) 再積分時，除了第 n 項以外每一項都坍縮為零，只剩下 L 乘 a_n。常數 a_0/2 就只是 f 的平均值，即信號的平均高度。
這些公式是整個學科的計算核心——每一台頻譜分析儀、每一張係數表、每一個分離變量法的解，最後都落到恰好這種形式的積分上。它們在精神上也令人安心地「局部」：要找一個諧波，你從不需要知道其他的，所以你想算多少係數、精度要多高，就算多少。誠實的告誡是：這些公式要求 f 在週期上可積；對於行為惡劣的 f（不可積，或假設了錯誤的週期），這些積分可能不存在，或給出誤導性的答案。
對 f(x) = x 在 (-pi, pi) 上、週期 2pi：由對稱性所有 a_n = 0，而 b_n = (1/pi) 從 -pi 到 pi 積分 x sin(n x) dx = -2 cos(n pi)/n = 2 (-1)^{n+1}/n，於是 x = 2 [ sin x - sin 2x / 2 + sin 3x / 3 - ... ]。
一次分部積分就一舉給出鋸齒波的全部係數——公式包辦了所有工作。
約定各異：有些書把常數項寫成 a_0（而非 a_0/2）並除以 L（而非 2L），所以多出或漏掉一個因子 2 是最常見的錯誤——一定要核對你的 a_0 公式用的是哪種約定。