偶函數與奇函數
有些形狀放在豎直軸上的鏡子裡看起來一模一樣；另一些則翻成它的相反數。一個函數若圖像關於 y 軸對稱，就是偶函數，即 f(-x) = f(x)——像拋物線或餘弦。它若把圖像繞原點旋轉 180 度後保持不變，就是奇函數，即 f(-x) = -f(x)——像過原點的直線或正弦。大多數函數兩者都不是，但每個函數都唯一地分解成一個偶部分和一個奇部分，而傅立葉級數關心的正是這種分解。
回報是一條省力的係數規則。因為餘弦是偶的、正弦是奇的，一個偶函數 f 的傅立葉級數只含餘弦（所有 b_n = 0），一個奇函數 f 的級數只含正弦（所有 a_n = 0）。原因是積分的對稱性：在對稱區間 -L 到 L 上，奇被積函數的積分自動為 0，而偶被積函數的積分可以算成從 0 到 L 積分的兩倍。所以當 f 是偶函數時，f 乘 sin 是奇的，其積分消失，把每個 b_n 都殺掉；當 f 是奇函數時，f 乘 cos 是奇的，把每個 a_n 都殺掉。在積分之前先認清 f 的奇偶性，能把工作量減半，是最先該檢查的事情之一。
除了省代數，奇偶性還是你把傅立葉級數導向想要的形式的辦法。如果你有一個只定義在 0 到 L 上的函數（比方說半根棒上的溫度分佈），你可以選擇怎樣把它延拓到 -L 到 L：把它延拓成偶函數得到純餘弦級數，或延拓成奇函數得到純正弦級數。這種有意的選擇就是半區間展開，也是匹配熱問題或波動問題邊界條件的標準做法。
f(x) = x^2 在 (-pi, pi) 上是偶函數，所以它的級數全是餘弦：x^2 = pi^2/3 + 4 sum (-1)^n cos(n x)/n^2。f(x) = x 在 (-pi, pi) 上是奇函數，所以它的級數全是正弦。
看出對稱性，就在你積分任何東西之前已經知道一半的係數是零。
奇偶性是相對所選區間中心來判斷的；一個「看著像奇函數」的函數，只有當 f(-x) = -f(x) 恰好關於那個中心成立時才真是奇函數，而非零的平均值（比如 x^2）會迫使 a_0 非零，即便對稱性是偶的。