半區間展開
問題常常只在半段上交給你一個函數——一根棒上從 0 到 L 的溫度形狀，或一根兩端固定的弦最初被撥起的樣子——而對負的 x 隻字不提。可是傅立葉級數活在一個完整的對稱週期上。半區間展開就是把缺失的那一半造出來的做法：你隨心所欲地把函數鏡像到 -L 到 0，然後對加倍後的函數運行普通的傅立葉機器。你可以設計這種對稱，而這種設計決定了哪些諧波會出現。
有兩個自然的選擇。把 f 偶延拓，f(-x) = f(x)，得到的傅立葉級數只含餘弦——半區間餘弦級數，其中 a_n = (2/L) 從 0 到 L 積分 f(x) cos(n pi x / L) dx，所有 b_n = 0。把 f 奇延拓，f(-x) = -f(x)，就只得到正弦——半區間正弦級數，其中 b_n = (2/L) 從 0 到 L 積分 f(x) sin(n pi x / L) dx，所有 a_n = 0。兩個級數在原區間 0 到 L 上都等於 f；它們只在那虛構的另一半上意見不一，而你本來也沒問那一半。
為什麼要為同一個函數操心兩個版本？因為邊界條件替你做了選擇。正弦級數的每一項在 x = 0 和 x = L 處都等於零，完美適合兩端夾緊的弦，或兩端保持零溫的棒（狄利克雷條件）。餘弦級數在兩端斜率為零，匹配兩端絕熱、邊界上沒有熱通量的棒（諾伊曼條件）。所以半區間展開不是花哨的修飾——它是讓傅立葉積木在邊緣處服從物理的辦法，是分離變量法的第一個具體步驟。
取 f(x) = 1 在 0 < x < pi 上。它的半區間正弦級數是 (4/pi)[ sin x + sin 3x/3 + sin 5x/5 + ... ]（在兩端都為零），而它的半區間餘弦級數乾脆就是 1（常數，在兩端斜率為零）。同一個 f，兩幅不同的週期圖像。
決定你要正弦還是餘弦半區間級數的是邊界條件，而不是函數本身。
一個在 x = 0 或 x = L 處非零的函數，其奇延拓會在延拓週期的端點處製造跳變，所以它的正弦級數會在那裡過衝（吉布斯現象）並在端點處收斂到 0——儘管你原來的 f 在 0 到 L 上完全連續。