受熱細棒

加熱一根金屬棒的中段，看著熱量散開、變得均勻：熱點冷下來、冷點暖上去，時間足夠長後整根棒趨向一個光滑、簡單的溫度分佈。這正是約瑟夫·傅立葉著手要解的那個問題，也是逼他發明他的級數的那個。關鍵洞見是：任何起始溫度圖樣都能寫成一堆正弦形狀的片段之和，而每個片段只是按它自己的鐘獨自消退。

長 L 的棒中溫度 u(x,t) 服從熱方程 u_t = k u_xx，其中 k 是熱擴散率。兩端保持零溫，u(0,t) = u(L,t) = 0，分離變量法給出空間模式 sin(n pi x / L)——與弦相同的正弦——但現在每個模式隨時間指數衰減，而不是振盪：u(x,t) = 對 n 求和 B_n sin(n pi x / L) exp( -k (n pi / L)^2 t )。把初始溫度展成半區間正弦級數就讀出 B_n。決定性的特徵是那個指數：第 n 個模式以正比於 n^2 的速率消亡，所以參差的高次諧波幾乎瞬間消失，而光滑的基波留得最久。這正是熱量把東西抹平的原因——細節被擦得最快。

這是從傅立葉級數到偏微分方程的第二個典範故事，而它與振動弦的對比很有啟發：同樣的正弦模式，但波動方程讓它們振盪（時間上是 cos），熱方程讓它們衰減（時間上是 exp）。衰減率裡的 n^2 是擴散那不懈抹平作用的數學印記，它解釋了為什麼溫度、濃度以及其他擴散量會忘掉它們尖銳的初始特徵、向平衡鬆弛。不同的邊界條件——比如絕熱的端點——會把正弦級數換成餘弦級數，但衰減模式的結構是一樣的。