本徵函數的帕塞瓦爾恆等式（Parseval's identity for eigenfunctions）
/ par-suh-VAL /
每個正交展開裡都藏著一條守恆律：一個函數的總大小，等於它各係數的總大小。帕塞瓦爾恆等式把這點精確化。它說一個函數帶權範數的平方，等於其廣義傅立葉係數平方之和（按本徵函數的範數平方加權）。幾何上，這不過是無窮多維中的勾股定理——向量長度的平方等於其各分量平方之和。
若在帶權 w 的正交本徵基中 f = sum of c_n y_n，則 integral from a to b of f(x)^2 w(x) dx 等於 sum over n of c_n^2 乘以（integral of y_n^2 w dx）。當本徵函數歸一化為單位帶權範數時，它就簡單地寫作：f 的帶權能量等於 c_n^2 之和。該恆等式恰與基底的完備性等價：貝塞爾不等式（係數平方之和至多等於範數）總成立，而當 f 沒有任何部分被本徵函數遺漏時，它恰好升級為帕塞瓦爾等式。所以帕塞瓦爾是基底完備的定量憑證。
實用上，帕塞瓦爾是你逐模式核算能量、控制截斷誤差的途徑。在振動系統中 c_n^2 是第 n 個模式的能量，帕塞瓦爾說各模式能量加起來等於總能量——分解中無所損失。當你只保留前 N 項時，帕塞瓦爾告訴你殘餘的均方誤差恰是 c_n^2 的尾和，於是你能決定為達到某容差需要多少模式。同一恆等式也支撐信號功率計算與變換的普朗歇爾定理。
在 [0, pi] 上把 f(x) = x 展為 sum of b_n sin(n x)，b_n = 2(-1)^{n+1}/n。帕塞瓦爾給出 integral from 0 to pi of x^2 dx =（pi/2）sum of b_n^2，即 pi^3/3 =（pi/2）sum of 4/n^2，由此還原著名的 sum of 1/n^2 = pi^2/6。
帕塞瓦爾把一個展開變成一條精確的級數恆等式——這裡它求出了巴塞爾和。
帕塞瓦爾等式僅對完備基底成立；對不完備的集合，你得到的是貝塞爾不等式，其嚴格缺口等於 f 中那一部分（基底無法表示的）的範數平方。