本徵函數的完備性（completeness of eigenfunctions）

正交性告訴你本徵函數指向不同方向；完備性告訴你它們指向足夠多的方向，足以到達每一處。完備的集合不留縫隙：區間上任何合理的函數都能重構為本徵函數的無窮組合，沒有任何這組基無法表示的殘餘。這正是一個張成整個空間的座標系，與一個只張成其中某個平面的座標系之間的差別。

確切地說，正則斯圖姆-劉維爾問題的本徵函數 {y_n} 在關於權 w 平方可積的函數空間中完備。這意味著對任何這樣的 f，廣義傅立葉級數 sum of c_n y_n 在均方（帶權 L^2）意義下收斂到 f：隨著保留項數增加，(f - 部分和)^2 的帶權積分趨於零。等價地說，唯一與每個本徵函數都正交的函數是零函數——沒有這組基漏掉的非零方向。完備性是比正交性更深的定理；它並非白給，但對正則斯圖姆-劉維爾問題有保證。

完備性是每個分離變量解背後那張無聲的許可證。當你把初始溫度分佈按本徵函數展開、再讓每個模式演化時，你是在押注本徵函數能精確表示那個分佈；完備性使這一押注穩妥。但要誠實地交代收斂的種類：均方收斂並不承諾級數在每一個點上都等於 f，而在跳躍間斷處部分和會永遠過衝（吉布斯現象）。完備性保證函數在能量意義下被捕獲，而非處處逐點相等。