吉布斯現象

用很多項畫出方波傅立葉級數的部分和，你會看到某種頑固的東西：緊挨著每個跳變，曲線會過衝，越過真正的頂探出去、又跌到真正的底之下，後面拖著小小的波紋。加更多項，波紋會朝跳變擠得更近、變得更窄——但第一個過衝的高度卻拒絕縮小。這種在間斷處旁邊持續不去的過衝，就是吉布斯現象，傅立葉分析中最有名的「是特性而非缺陷」。

下面是誠實的機理。當你取更多項 N 時，部分和確實在遠離跳變的每一個固定點處收斂到 f，甚至在跳變本身處收斂到中點。但過衝並不待在某個固定點上——它所在的位置會隨 N 增大而滑向跳變，始終停留在收斂並非一致的那條窄帶裡。在極限中，過衝的峰值趨於一個確定的高度：約為跳變大小的 9%（更確切地說，整個起伏的過衝倍數與 (sin t)/t 的積分即正弦積分在 pi 處的取值相關）。所以無論你疊加多少諧波，部分和的最大值都以那同一個固定的百分比越過跳變；只不過它發生在越來越薄的一條縫裡。

這就是為什麼加項消除不了它，以及它在實踐中為什麼重要。截斷任何帶尖銳邊緣的信號——有硬邊界的圖像、一聲音頻咔噠、一個階躍輸入——都會在邊緣附近產生這種「振鈴」，在 JPEG 式壓縮中表現為光暈、在濾波器輸出中表現為過衝。它不是數值誤差；它是用光滑波去逼近一個間斷時不可避免的代價。標準的補救不是加更多項，而是更溫和的求和——把係數乘以一個漸縮的窗（費耶/切薩羅平均、蘭喬斯 sigma 因子），以犧牲一點銳度換取過衝的消除。