狄利克雷條件

為 f 寫出一個傅立葉級數是一回事；知道這級數真的能加回到 f 又是另一回事。狄利克雷條件是一組友好、可核查的假設——用眼睛就容易驗證——它保證傅立葉級數收斂，並告訴你它在每一點恰好收斂到什麼值。它們不是可能最銳利的條件，但幾乎涵蓋了工程師或物理學家遇到的每一個函數：脈衝、斜坡、方波，任何分段良好的東西。

對週期函數 f 來說：若在一個週期上 f 絕對可積、只有有限個極大極小、且只有有限個跳躍間斷（每個都是有限跳變），那麼 f 的傅立葉級數處處收斂。在 f 連續處，級數收斂到 f(x)。在 f 有跳變處，級數收斂到跳變的中點，即左極限與右極限的平均 (f(x+) + f(x-))/2。在跳變處這條乾淨利落的判定，正是實用上重要的部分：級數不偏向任何一邊，它取折中。

這些條件正是傅立葉方法在應用中如此可靠的原因。你很少需要 L^2 理論那套重型機器來證明一次計算的合理性；你只需確認你的信號是分段光滑、跳變有限，就立刻知道這級數是正當的、以及它落在哪裡。誠實的說法是：狄利克雷條件是充分的，而非必要的——存在違反它們卻仍收斂的展開，也存在傅立葉級數在某點發散的病態連續函數——但對數學物理中那些家常的函數，它們恰好就是你想要的可用判據。