跳變處的收斂
假設你的信號突然跳變——開關一翻，方波從 -1 猛地跳到 +1。在那一瞬間函數有兩個候選值，跳變前的那個和跳變後的那個，而傅立葉級數該報告哪一個（如果有的話）並不顯然。乾淨利落的答案是本學科中最令人滿意的事實之一：在跳變處，級數對兩者都不理會，而收斂到它們正中間的那個值，即左極限與右極限的平均。
寫出來就是：若在點 x 處左極限是 f(x-)、右極限是 f(x+)，那麼在狄利克雷條件下，x 處的傅立葉級數收斂到 (f(x-) + f(x+))/2，無論 f 本身在 x 處如何（或是否）定義。在最簡單的情形裡你能看清原因：像方波那樣的奇跳變完全由正弦項構成，而每個 sin(n pi x / L) 在跳變位置都為零，所以部分和在那裡天然就坐在中點上。級數實際上是在選取它所能選的最對稱、最無偏的值。
這之所以重要，是因為真實信號充滿了稜邊——通斷脈衝、採樣保持的數據、整流波形——你需要知道你的重建在那些稜邊處究竟做了什麼。中點規則告訴你：級數在間斷處的值是一個確定的、可預測的數，不是噪聲，也不是拋硬幣。它也是吉布斯現象在概念上的伴侶：級數在跳變本身處收斂到中點，然而部分和卻在緊挨兩側過衝，一旦你把「點處的極限」和「點附近逼近的形狀」分開，這兩個事實就完全相容了。
鋸齒波 f(x) = x 在 (-pi, pi) 上、週期延拓，在 x = pi 處從 +pi 跌到 -pi。那裡 f(x-) = pi、f(x+) = -pi，所以級數收斂到 (pi + (-pi))/2 = 0——函數值 pi 根本不是級數返回的東西。
把 f 在跳變處重新定義為它自己的中點，就讓級數和函數在那裡恰好一致。
中點值是部分和在跳變處的極限，而不是任何有限部分和在附近所顯示的——跳變旁邊的過衝，無論你加多少項，都大致保持在跳變高度的 9% 左右（吉布斯現象）。