高級積分技巧
三角函數冪的積分（integrating powers of trigonometric functions）
怎麼積 sin^5(x)，或 sin^2(x) cos^4(x)，或 tan^3(x) sec^4(x)？沒有單一公式，但有一小套可靠的招式，能把任何三角函數冪的乘積化成可用換元積出的形式。策略只取決於指數是奇還是偶。
對正弦餘弦：若有一個冪是奇數，就剝下一個因子去配 dx，其餘用 sin^2 + cos^2 = 1 轉換，於是換元 u = sin(x) 或 u = cos(x) 收尾。若兩個冪都是偶數，就不能這麼做，於是用半角（降冪）恆等式 sin^2 = (1 - cos 2x)/2 和 cos^2 = (1 + cos 2x)/2 把指數一點點磨低，反覆直到一切都對某個餘弦呈一次式。對正割正切，平行的技巧用 1 + tan^2 = sec^2，以及 tan 的導數是 sec^2、sec 的導數是 sec tan 這一事實，把恰當的因子留下來當 du。
這些積分是傅立葉分析的日常主食：你用信號去對 sin(nx)、cos(nx) 積分來算傅立葉級數的係數，而三角系的正交性正是說許多這類乘積在一個週期上積分為零。當分類討論變得難看時，魏爾斯特拉斯換元是萬能的兜底，而約化公式把偶-偶的反覆研磨打包成一條遞迴規則。
求 sin^3(x) dx 的積分：寫 sin^3 = sin(x)(1 - cos^2 x)，令 u = cos(x)，du = -sin(x) dx，得 -(1 - u^2) du 的積分 = -u + u^3/3 = -cos(x) + cos^3(x)/3 + C。
奇次冪讓你分出一個因子當 du，把其餘的用另一個函數改寫。
偶-偶的情形沒有奇因子可抓，單靠換元會失敗——必須先用半角恆等式降冪。跳過這一步是這裡最常見的死胡同。
又稱
另見