約化公式（reduction formula）

假設你要算 sin^10(x)，或 x^6 e^x，或 sec^5(x) 的積分。從頭硬算很殘酷，但這每一個都屬於一個以整數 n 編號的家族，而成員之間是連著的：指數為 n 的積分可以用指數更小的同類積分表示。約化公式就是這條聯繫——一條把指數降一或降二的規則，反覆施用就把你帶到一個你能心算的基本情形。

約化公式幾乎總是用分部積分推出，挑選拆法使得剩下的積分恰是原積分的降冪版本。例如記 I_n 為 sin^n(x) dx 的積分，分部積分給出 I_n = -(1/n) sin^(n-1)(x) cos(x) + ((n-1)/n) I_{n-2}。每用一次把冪降 2，朝 I_0 = x 或 I_1 = -cos(x) 前進。這條公式是一個遞推式：一條用自身更小的實例來定義某量的自指規則。

約化公式正是計算機代數系統和製表者一次性處理整個無窮家族的方式，它把本來無望的高次冪積分變成例行公事。它們還揭示結構——例如著名的求 pi 的沃利斯乘積，就是從 0 到 pi/2 上對 sin^n 的約化公式直接掉出來的。唯一的坑是你必須忠實地把公式施用到正確的基本情形；基項差一個，會悄悄毀掉整條鏈。