特殊函數
斯特靈近似（Stirling's approximation）
/ STUR-ling /
100! 有多大？手算乘出來毫無希望，連計算器都會溢位。斯特靈近似為大自變量下的階乘（以及伽瑪函數）給出了簡潔的閉式估計，把一個無從下手的乘積變成由 n、e 和 pi 搭成的簡單表達式。它回答了「大致多大、增長多快」，卻完全不必真正去做那串乘法。
主導形式是 n! 約等於 根號(2 pi n) 乘 (n/e)^n。等價地，對數滿足 ln(n!) 約等於 n ln n 減 n 加 (1/2) ln(2 pi n)。這是一個漸近陳述：當 n 增大時兩邊之比趨於 1，儘管它們的差並不趨於零。完整的斯特靈級數還加上修正項：n! 約等於 根號(2 pi n) (n/e)^n 乘 (1 + 1/(12n) + 1/(288 n^2) + ...)。這條尾巴是發散的漸近級數——一味加更多項最終反而讓估計變差——然而在恰當處截斷卻能給出驚人的精度。
凡是出現大階乘的地方都有斯特靈近似：統計力學（氣體的熵要用 ln(N!)，其中 N 約為 10^23）、組合學與中心極限定理、資訊論，以及演算法分析。它是引入漸近分析和拉普拉斯方法的原型例子，因為伽瑪函數的積分定義有一個尖銳的峰，拉普拉斯方法對它的近似恰好重現出斯特靈形式。
取 n = 10：真值是 10! = 3628800，而 根號(2 pi 乘 10) 乘 (10/e)^10 約等於 3598696——偏低約 0.83%，相對誤差以 1/(12n) 的量級縮小。
即使在 n = 10 這樣不大的值，主導斯特靈公式的精度已經優於百分之一。
斯特靈修正級數是漸近且發散的：它不是收斂的冪級數，所以應在最佳項處截斷，而不是一直求和到底。
又稱
另見